臨床数学教育のすすめ

蟹江幸博

§1. はじめに

これは 1 つの夢である．理想の数学教育教授法を，夢として語ってみればどうなるだろうか．実現するはずもないから夢．教育環境がかってないほど劣悪になったから，だから却って夢を見てみようと思った．

公教育としての算数・数学教育の枠から落ちこぼれた，逃避した，はみ出した，言葉はなんであれ，これまでの算数・数学教育では数学的能力が培われず，数学に好感を抱かない，そして，イソップの届かぬ葡萄ではないけれど，数学を軽蔑するような多数の若者が生まれている．一朝にして起こったことではない．公教育としての算数・数学教育を少しでも改善しようという弛まぬ努力を大勢の人がしてきた．それでなお，益々劣悪になって行く．公教育が政治の対象になってしまい，正しいことを正しいと認識し合う前提が失われている．

これを救うとすれば，何かしら徹底的な運動か，盲点となっていたような新しい視点が必要である．ことは既に数学だけの問題ではなくなっている．青少年犯罪が増える．若い世代に規範がない．教室内に秩序がない．生きる目的がなく，勉強する意欲がない．登校拒否症候群はもはや一部の問題ではない．

そういう事態に対応するために考えられたのが臨床教育である．それが言われて既に久しい．それで尚，事態は益々悪化している．臨床教育が無能なのか，臨床教育による歯止めが効かないほど事態が進んでいるのか，臨床教育の考え方が普及していないのがいけないのか．

事態が進み過ぎて，臨床教育として考えられていることでは，踏み込みが足らないということも考えられる．つまり，理想的にうまくいった状態として何を想定しているかが問題である．それは多分，児童・生徒を学校に取り戻すことであり，学校における集団教育で，社会基盤としての才識を備えた人材を育成し，その中から時代を変革し得る人材も養成することであろう．

その理想が悪いとは言わないが，われわれにできることのようではないし，言い続けてさらに事態が悪化しているという現状がある．

ここで提唱している臨床数学教育とはそんな大上段な世直し的な教育理念ではない．個人に実行可能な，ささやかな抵抗の指針として役に立てたいということがあるだけである．臨床教育は，それなりに地道な努力や工夫の積み重ねであり，大いに役に立っている場合もあるだろう．しかし，教育はそれぞれの学習者によって全く違ったものでなければならない面がある．ある人にとって有効な方法でも，別の人にとっては害にしかならないことがある．さらに，臨床教育が問題にされる状況は，その個人差が拡大されている局面でもある．

僕は数学者である．子供たち一般の問題に関わる能力もなければ，そんな気もない．しかし，数学が人間を人足らしめている大きな要素であることを知っている．そして，その基礎的学力が，今の日本の文化の中で危機的状況にあることを知っている．で，数学においてだけでも実効ある臨床教育はないだろうかと考えてみる．考えるだに絶望的になってしまう．これまでも努力して来なかったわけではない．また多くの人々も努力されている．でも，ますます悪くなっている．政治が教育に関係し出してから，ほとんど「言えば言うほど悪くなり，言わなければ言わないで悪くなる」という状況が続いている．

で，理想を考えてみた．だが，僕の本当の理想は何もしないことである．算数・数学教育に対する僕の基本的な考え方は，当たり前のことを当たり前に行うことであり，特別に有効な方法や考え方はないということである．そのような特効薬的な教育方法などあるはずもなく，またあるべきではないというものだった．当たり前が通用しない時代に生きているようだ．

目的を限定しよう．臨床数学教育である．臨床とは医学用語である．読んで字の如く，床（ベッド）に臨んでなすべきことである．ベッドにいる病人に対し，離床できるようにすることが目的である．根本治療は教育では危険過ぎる．見習うべきは対症療法とリハビリである．その中でとくに作業療法が参考になる．

そういう想定で，とことん理想を考えてみる．公教育を敵視する必要はないが，公教育に全面的に依拠することはしない．病院で医師を信用しないことに当たるかも知れないが，それは根本治療に対応することにしておこう．つまり，教師がいてもいなくてもできる数学への疎外感の除去を目的にしてみる．漫然と考えていても仕方がない．とことんの理想を箇条書きにしてみよう．ただし，理想とは学習者にとってのものであり，教育を施す側の都合の良さを主眼とする理想とは考えない．あくまで，算数・数学から疎外された病者の基本的疾患が取り除かれたあとの，リハビリのための理想的な教育のあり方と，それに使うことのできる理想的教材のあり方を考えることにするのである．

1. 切っ掛けには第三者がいた方がいいし，効率的には介助者がいた方がよいかも知れないが，基本的には学習者本人だけでできるものであること． 2. （強いて勉める）勉強をしているという意識を与えないようなもので

あること．

3. やってもいいし，やらなくてもいいが，やっていると楽しいと思わせるようなものであること．

4. 一歩一歩では難しさを感じさせないで，知らず知らず進んでいけること．

5. 与えられた教材が一段落したら，自発的に似たような状況や発展課題を思いつき易く，やってみようという意欲が起きるようなものであること．

6. 多様なレベルのものが用意されていること．どのレベルからでも入れるし，もっとも初等的なレベルから入ることができるもの．（実際上の注意：易し過ぎると思わせて，馬鹿にする気が学習者に起こると，受け入れられにくくなる．レベルを到達度のようにして評価しないことが重要．）

7. 数学から疎外されている学習者の疎外感を取り除くのにも役立つ一方，ある程度熟達した学習者にも興味を持って受け入れられ，数学的内容の理解に役立つもの．（たとえば，絵画を見せたり音楽を聴かせたりという両方の際にも，本物の絵や本物の音楽を使わないと効果が少ないということでもある．）

8. 自分でその教材に取り組まなくても，取り組んでいる様子を見ているだけで数学に対する理解が深まっていくこと．

つまり，スローガンとして言ってしまえば，「臨床数学教育の教材は教えなくて済む教材であり，臨床数学教育は教えない教育である」べきであり，ソクラテスの産婆術のように学習者の内的成長を見守る教育であるべきである，ということである．

どうも空虚な理想論に聞こえてしまいそうだ．箇条書きにしたことも， 1 つ 1 つばらばらに見ると，たとえば 7 などは「できる子はよりできるように，そうでない子はそれなりに」といった感じで，どこかのカラーフィルムの宣伝コピーのようにさえ見える．だが，冗談を言っているつもりはない．まさにそれが可能な教材というのが最大の目標なのである．受験体制が悪いのか，それに志向する教育の現状が悪いのかは論じないが，いわゆる点数を取ることには長けていても，数学的内容の理解がおぼつかない学生が大学に大勢入ってくる．彼らもリハビリが必要なのである．と言って高校までの数学の復習をしろと言っても，やる気にはならないものである．彼らにも役に立つものであれば，それに越したことはない．なにしろ，とことんの理想なのだから．

理想ついでに，この教材・教授法では決して評価はしない，ということにしたい．見守ることを主眼にすればそうでなければなるまい．そうできるものを作る．それでこそ理想であろう．とはいっても，メインのカリキュラムとしてこれまでの教材を一掃するものを考えるのではない．あくまでリハビリのための補助教材である．数学そのものが変わるわけのものではない．だから，たとえば，足し算の仕方とか掛け算の方法とかを教えることは考えない．それは習っているとする．習ってはいるが身についていない，というか自分の世界観の中に定着していない児童・生徒に対し，技術の習熟と共にそれを基盤とする世界観の構築に役立つものであるべきである．それはだから，社会人になった後に，もう一度数学の勉強をし直したいという場合にも大いに役立つものになる．というよりむしろ，必然的になってしまうようなものになるべきである．

さて，そんな夢のような教材があるものなのだろうか？ 断片的になら，ないわけではない．最初に臨床数学教育を提案した論文 [1] で，臨床数学教育で用い得る教材の可能性についても論じているが，それには大きく分けて 3 種類あって，最後の種類として挙げたものに逆問題というジャンルがある^{1}．たとえば，足し算を習った後，反復練習だけではどうしてもやる気が殺がれる．そういうときに，これまでも使われてきたものである．

たとえば， 4 つの 4 がある． 4 を 4 つ並べて，その間に（括弧は許すが）加減乗除の記号を入れることによって 1 から順に数を作り出すものである．これの変化形には 4 つの 9 とか， 9 つの 9 とかがあり，一般に n 個の n も考えられるが，得られる数がある程度まとまっていないと，提示しにくい．また，小町算というものもある． 1 から 9 または 10 までの数を順に並べ，括弧と加減乗除の記号をだけを挿入して， 99 もしくは 100 になる式を作るという問題である．並べる数の順を逆にした逆小町算もある．これは和算の本に載っており， 4 つの 4 は西欧起源であるが，ともに一種の数学ゲームとして考案されたものである．これに取り組むことによって，足し算の構造がより深く理解されるようになる．

このような目的に使うことのできる数学ゲームは少なくないが，多分にマニアックな感じを与え勝ちで，算数・数学から疎外されてしまった学習者には受け入れにくいかも知れない．それでも，指導者（介助者）がうまく誘導すれば，一時的疎外者には結構有効であるかもしれない．そういう意味で挙げれば，他にも分割数を求めるとか，整数を多角数の和に書く，平方数の和に書く，素数の和に書くといったものも面白い教材になる．小学生でも 100 までくらいならさほど難しく思わせずにやることができるだろう．

このような教材はこれまでも補助的なものとして用いられてきたが，臨床数学的観点から扱われて来なかったことから十分な効果を期待できなかった．また，内容的には断片的で，他の話題につながりにくいという問題があって，あまり注目されてこなかったと言える．

1提唱した最初のころは「数の構造ゲーム」と呼んでいた．ジャンルに付けた名前は，力学グラフ，戦略ゲーム，逆問題の 3 つである．

さて，臨床数学教育に関連してこれまでに発表した論文は， [1], [2], [3], [4] の 4 篇で，今のところ詳しくはそれらを見ていただくしかないが，以下では， [1] で提案した 3 つのジャンルの中から最も有望だと考えている力学グラフを紹介することにする．一言で言えば，力学グラフは因果律の反映であり，戦略ゲームは仲間分けと仲の良さを目に見えるようにするものである．

力学グラフや戦略ゲームで扱う内容自体は，予備知識を必要としない数学の講義を大学で長年やっている中で，折々のトピックスとして扱ったことのあるものだったが，臨床数学教育という観点から見直しすことで，内容も一新し，真価が確認できたものである．この文章を読んで下さっている教育関係者の方々には，臨床数学教育の観点から見直すことによって飛躍的に優れたものになる教材をお持ちの方もおられる筈である．ぜひ，そのように考えてみられることをお薦めしたい．

§2. 力学グラフ：入り口と臨床数学的注意

算数教育で肝心なことは何といっても計算をするということである．十分な速さで計算ができれば，大抵のことは克服される．しかし，無目的にみえる反復練習では学習者は飽きてしまうし，嫌悪感を感じるまでになりやすい．そこで，計算に付加価値を与えるのが力学グラフ教材の眼目である．計算そのものではないが，計算の結果に付加価値を与える．それも学習者自身が喜びや興味を持つような価値を与えるのである．端的に言えば，四則演算（や代数演算）の視覚化である．計算結果をある規則を使ってグラフにする．規則のちょっとした違いも結果のグラフに大きく影響する．それを自分で観察し，数の個性を認識し，数体系の構造を理解する．そういう働きを持つ教材だと言える．

紙数の都合もあり，以下には教材の素材としての数学的内容を述べる．具体的に教材とするのには，臨床数学教育的配慮とともにさらに工夫が必要である^{2} ．

力学グラフとは，一言で言えば，離散集合上の離散力学系を表現する有向グラフのことであるが，教育に使うということから，自然数の集合 ℕ またはその部分集合（切片にとることが多い）上の力学グラフを扱う．離散力学系と言っても，次の時刻の状態を与える写像を与えることを同じである．

2色んなレベルの学習者に対応する教材をと考えたために，それぞれのレベルでの提示方法を考える必要があり，さらに算数・数学に対する親疎に合わせた導入法も考える必要がある．それぞれに工夫と実践のフィードバックが必要な多くの種類の具体的教材化が求められる．どの部分から始めたらよいか，実践の場を確保するにはどうしたらいいか，などを考えているうちに時間が経ち，数学的内容だけが拡大し，深まっていっている．それがいつ終わるとも知れないので [5] が書き終わらない．そんな中，今回の指導要領が発表され，実施されるに至った．止むに止まれず，せめて紀要にと書き始めた論文が 4 篇にはなった．本稿の執筆を機会に，誤解を恐れず，読者対象を広く想定したものを書いて行きたいと思っている．また，最後の節では実際に中学 1,2 年生に対して試みた提示例を述べている．

だから，写像 f : ℕ → ℕ （ℕ の代わりに k 切片 I_{k} = {i ∈ ℕ | 0 ≤ i < k} を考えてもよい）を与えたときに，対応して 1 つの有向グラフ G(f) を考えるのである．記号の統一のため， ℕ = I_{∞} と置くことにし， k = ∞ をこめて I_{k} を状態集合（=頂点集合）と考える．

数学に馴れていれば，これだけからどれだけ豊かなものが得られるか想像がつくだろうし，実際に実験して確かめることもできる．が，小学生に対してもこの教材を使おうというのだから，もう少し具体的に述べないと嫌われそうだ．

写像 f を [2] や [4] で扱ったものにとれば^{3}，高校生でも十分興味を持ち得るほどの複雑で奇妙な形が得られ，数には思いもかけぬ個性があることに気づかされるだろう．

初等教育で用いることを前提にすると， f としては加減乗除とそれに多少の修飾をしたものくらいになるが，その中でももっとも簡単な加法グラフ A_{k}^{a} = G(f_{k}^{a}) と乗法グラフ M_{k}^{a} = G(g_{k}^{a}) だけでも十分豊かなグラフが得られ，得られる多数のグラフの間の関係もダイナミックで美しい．しかも，それらすべてが，もっとも単純な A_{∞}^{1} から，グラフ上の手続きだけから得ることができるのである．ここで， f_{k}^{a}, g_{k}^{a} は I_{k} 上の写像で， f_{k}^{a}(x) = x + a (mod k) であり， g_{k}^{a}(x) = ax (mod k) である．もちろん， k = ∞ のときは (mod k) といっても何もしないこととする．

これだけでは何が面白いか分かりにくいだろう．ともかく描いてみることだ．一番簡単なのはもちろん A_{∞}^{1} である． 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10 → 11 → 12 → 13 → → 14 → 15 → 16 → 17 → 18 → 19 → 20 → 21 → 22 → 23 → 24 → 25 → → 26 → 27 → 28 → 29 → 30 → 31 → 32 → 33 → 34 → 35 → 36 → 37 → → 38 → 39 → 40 → 41 → 42 → 43 → 44 → 45 → 46 → 47 → 48 → 49 → → 50 → 51 → 52 → 53 → 54 → 55 → 56 → 57 → 58 → 59 → 60 → 61 → → 62 → 63 → 64 → 65 → 66 → 67 → 68 → 69 → 70 → 71 → 72 → 73 → → 74 → 75 → 76 → 77 → 78 → 79 → 80 → 81 → 82 → 83 → 84 → 85 → → 86 → 87 → 88 → 89 → 90 → 91 → 92 → 93 → 94 → 95 → 96 → 97 → → 98 → 99 → 100 → 101 → · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

3[2] では完全数，不足数，過剰数に関連した力学グラフを考える．素数の奇妙な個性が見えてくる． [4] は桁を固定し，反転した数との差をとる写像に対するグラフを考える．用語は以下を参照． k = 1 は自明で固定点が 1 つ． k = 2, 3 では周期 1 と 5 のサイクルが 1 つずつで，サイクルからの高さは高々2． k = 4 で突然複雑さが増す．サイクルは周期 1 のものが 1 つ，周期 2 のものが 1 つ，周期 5 のものが 3 つ．サイクルからの高さは 12 にもなるものがある．

全く何の変哲もない．全部が一列につながっている．風呂で数を詠むのと同じである．次の数を表わす規則だけを知っていればよい．

では A_{∞}^{2} はどうだろう．初めの方だけ描くと

0 → 2 → 4 → 6 → 8 → 10 → 12 → 14 → 16 → 18 → 20 → 21 ⋯

1 → 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → 15 → 17 → 19 → 21 → 23 → ⋯ となる．描いてじっと見る．色んなことが分かる． 2 つの成分がある． 0 を含む成分 C_{0} と 1 を含む成分 C_{1} は ±1 することによって移り合う． A_{∞}^{1} の各頂点のラベルの数を 2 倍すると C_{0} が得られる． C_{0} は偶数の集合で， C_{1} は奇数の集合である．

臨床数学的には，こんなことは教えてはいけない．（できればではあるが）すべて学習者自身にさせる．ただじっと見て学習者に感じさせる．描いて観察する．感じたら言葉にする．まとめる．規則を見つける．他のグラフと見比べる．グラフを変形して，別のグラフを作ってみる．それだけで楽しい．それだけで数の構造の理解が深まる．

A_{∞}^{2} を描くのには，計算してもよいが，計算しなくてもグラフ上の作業だけでできる． +2 は +1 を 2 回することだから， A_{∞}^{1} で矢印を 2 つ進んだものを A_{∞}^{2} での矢印の先にすればよい．数学的には， f_{∞}^{2} = f_{∞}^{1} ∘ f_{∞}^{1} ということだが，これも描くうちに自然にわかってくる． A_{∞}^{n} を n = 10 位まで描かせてみると，学習者にも分かることが増えてくる．分かることは人によって違ってよい． 1 つ 1 つは単調な計算だが，まとめて描いてみると，計算を間違えたときには自分で気がつく．グラフに対称性がなくなるからである．正しく計算すればグラフに対称性が現れるが，間違えばそれが崩れる．

f_{∞}^{n} = (f_{∞}^{1})^{n} を使えば， A_{∞}^{n} も A_{∞}^{1} から，指でたどるだけで描くことができる．矢印に沿って 1 つ進むのが１時間後への未来への旅， 1 つ戻るのは過去への旅．時間の早回しや逆回しは，ビデオやオーディオ機器に慣れた今の児童には容易に理解されるだろう．そのうち，慣れてくれば， A_{∞}^{1} の数字の入っていないものを n 本並べて，順に隣の列に数を書き入れ，下まで行ったら一番上に戻って繰り返せばよいことに気づくだろう．なぜそうすればよいのかを理解する前に，きっと気づくようになる．学習者の能力を信じることが臨床数学教育の前提なのである．

対称性で言えば，たとえば加法の可換性 n + m = m + n は， A_{∞}^{n} と A_{∞}^{m} を描けば（但し，上手に描けば）すぐに了解される． A_{∞}^{n} の各成分は無限に続くから，ずっと描こうとすればどうしても折り曲げることになる． A_{∞}^{n} では m 個ごとに， A_{∞}^{m} では n 個ごとに折り曲げれば， 0 を含む成分同士見比べると，左上角に同じ形の長方形が，但し向きが反対になって現れる．

A_{∞}^{n} の成分の数は n で，各成分の一番前，つまり，過去を持たない数は n 個あり，それらは 0 から n − 1 である．数 m が属す成分の一番前の数は m を n で割った余りになる．矢印を逆にするのが引き算なのだから， m から， n を引けるだけ引いて，もう引けなくなったら，それが余り．掛け算も割り算も知らなくても，これは分かる．

実に分かり易い．が，実は，困るのはこの点なのである．臨床数学教育のために考えた教材・方法だが，普通のカリキュラムに使っても非常に役に立つ．役に立つから使いたくなる．使えば評価はしなければならない．

しかし，臨床数学教育では評価は禁物である．評価が入った途端，数学に向きかけた学習者の心が再び閉ざされることにもなりかねない．「こんなことが分からないのか？」と決して言わずに算数・数学の基礎概念を体得させようというのが，臨床数学教育の目的なのである．臨床数学的に使える教材を開発するのは極めて難しいのである．力学グラフを評価で汚さないで欲しい．

教科教育学者の皆さん，力学グラフを利用しないでください．それが出来なければ，こんなもので指導要領の趣旨を実現できないと軽蔑してください．力学グラフは指導要領とは何の関係もないものだから，実現できないのは当然のことで，利用するのは指導要領の逸脱になります．あ，それと，指導要領の中に入れないでください．お願いします．

§3. 力学グラフ：少し中へ

加法グラフ A_{∞}^{n} の 0 を含む成分を見ていれば，これが掛け算の n の段を表わすことがわかる．だから， A_{∞}^{n} (n≦ 9) の 0 を含む成分を並べて描いておけば，掛け算の九九の表になる．これで，掛け算を考えることができる．

もう少し丁寧に考えよう． A_{∞}^{1} と A_{∞}^{n} の 0 を含む成分 C_{0} = C_{0}(A_{∞}^{n}) を並べて描く． A_{∞}^{1} の m と同じ位置の A_{∞}^{n} の数が m × n である．力学グラフ（教材）的にはこれが掛け算の定義である．累加としての掛け算を視覚的に表現したものになっている．

さて m × 1 なら，同じ A_{∞}^{1} を並べるだけだから， m × 1 = m である．だから，乗法グラフ M_{∞}^{1} は，

0 _{}1 _{}2 ⋯ _{}m ⋯ 恒等グラフ

となる．これはまた， A_{∞}^{0} でもある．掛け算の定義についての上の注意から， 0 の成分が 0 だけしかないことから， m × 0 = 0 となる．乗法グラフ M_{∞}^{0} は

[figure: 0 ← m; ⋮; 1; ⋮; ⋮; ⋮] 定数グラフ

となる． A_{∞}^{0} = M_{∞}^{1} のすべての点と， M_{∞}^{0} の 0 からは自分自身への矢印がある．永遠の未来まで変わらぬものを表わしているが，それ自体のなんと詰まらないことか．死ぬことがあってこその豊かさである．これも，臨床数学教育では要らぬこと．何をどのように感じ取っても構わない．

A_{∞}^{0} = M_{∞}^{1} では成分は無限個だが，各成分は不動点だけ． M_{∞}^{0} ではすべてが一瞬の内に，熱的死のような不動点に落ち込む．重力崩壊を起したブラックホールのようだ．そう思っても，思わなくてもよい．別の感じ方も当然あるだろう．

が， n が 1 より大きくなると， M_{∞}^{n} は途端に無限の成分になり，孤立した不動点の 0 以外は，成分は分岐のない木になる．各成分に過去を持たない点（数）があり，たとえば， n = 2 なら，すべての奇数が過去を持たない． n を動かしての複雑さも面白いが，無限のままであまり複雑にすると分かりにくくなる．

mod k 簡約で，有限の世界に上のグラフを縮めると，複雑で美しい様相が現れてくる． A_{k}^{a} = A_{k}^{a+k} (また M_{k}^{a} = M_{k}^{a+k}) に注意して， k < 10 までを描いてみると次のようになる．

A_{2}^{1} : [figure: 0; 1]

A_{3}^{1} :  [figure: 0; 1; 2]  A_{3}^{2} :  [figure: 0; 2; 1]

A_{4}^{1} :  [figure: 0; 1; 2; 3]  A_{4}^{2} :  [figure: 0; 2]  [figure: 1; 3]  A_{4}^{3} :  [figure: 0; 3; 2; 1]

A_{5}^{1} : [figure: 0; 1; 2; 3; 4] A_{5}^{2} : [figure: 0; 2; 4; 1; 3]

A_{5}^{3} : [figure: 0; 3; 1; 4; 2] A_{5}^{4} : [figure: 0; 4; 3; 2; 1]

A_{6}^{1} : [figure: 0; 1; 2; 3; 4; 5] A_{6}^{2} : [figure: 0; 2; 4] [figure: 1; 3; 5]

A_{6}^{3} : [figure: 0; 3] [figure: 1; 4] [figure: 2; 5] A_{6}^{4} : [figure: 0; 4; 2] [figure: 1; 5; 3] A_{6}^{5} : [figure: 0; 5; 4; 3; 2; 1] A_{7}^{1} : [figure: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6] A_{7}^{2} : [figure: 0; 2; 4; 6; 1; 3; 5] A_{7}^{3} : [figure: 0; 3; 6; 2; 5; 1; 4] A_{7}^{4} : [figure: 0; 4; 1; 5; 2; 6; 3] A_{7}^{5} : [figure: 0; 5; 3; 1; 6; 4; 2] A_{7}^{6} : [figure: 0; 6; 5; 4; 3; 2; 1] A_{8}^{1} : [figure: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7] A_{8}^{2} : [figure: 0; 2; 4; 6] [figure: 1; 3; 5; 7] A_{8}^{3} : [figure: 0; 3; 6; 1; 4; 7; 2; 5] A_{8}^{4} : [figure: 0; 4] [figure: 1; 5] [figure: 2; 6] [figure: 3; 7] A_{8}^{5} : [figure: 0; 5; 2; 7; 4; 1; 6; 3] A_{8}^{6} : [figure: 0; 6; 4; 2] [figure: 1; 7; 5; 3] A_{8}^{7} : [figure: 0; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1] A_{9}^{1} : [figure: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8] A_{9}^{2} : [figure: 0; 2; 4; 6; 8; 1; 3; 5; 7] A_{9}^{3} : [figure: 0; 3; 6] [figure: 1; 4; 7] [figure: 2; 5; 8] A_{9}^{4} : [figure: 0; 4; 8; 3; 7; 2; 6; 1; 5] A_{9}^{5} : [figure: 0; 5; 1; 6; 2; 7; 3; 8; 4] A_{9}^{6} : [figure: 0; 6; 3] [figure: 1; 7; 4] [figure: 2; 8; 5] A_{9}^{7} : [figure: 0; 7; 5; 3; 1; 8; 6; 4; 2] A_{9}^{8} : [figure: 0; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1] 大学の文科系数学の講義でやってみると，最初のうちは詰まらなさそうにしているが，しばらくすると面白そうにやっている．初等教育でやるときは，詰まらなさそうという段階をどう軽やかに通り抜けるかが，介護者（教師）の腕の見せ所だろう．

さて，これを見てわかることは，成分はすべてサイクルになることである． k と a が変わると，サイクルの周期と成分の数が変わる．それは同じでも現れる数が変わる．たとえば A_{k}^{a} と A_{k}^{k−a} を比べると，矢印の向きを反対にしたものになっている． mod k の数学を知っていれば明らかだが， k − a は −a であり，時間を反転して，未来と過去を入れ換えることにあたる．

予想を立てて， k を大きくしていっても成り立つか，成り立たないか．学習者が自分で世界を広くして行き，構造を見抜く力が養われる．

実は，約数が多い k に対して， A_{k}^{a} の a による変化を見ると面白さも一際で，もっと大きな k に対してグラフを示したいところだ．

乗法グラフはさらに面白い． M_{k}^{a} では常に 0 が不動点になっている． k と a が互いに素なら，サイクルしか出て来ないが，その周期は同じとは限らない． k が素数のときでも， M_{k}^{a} のサイクルの周期はさまざまに変化する．それが k − 1 の素因数分解から決まるなどという数学的知識は不要のことで，描いて描いて楽しめばよい．それくらいは自然に分かってくるし，分からなくても構わない．臨床数学教育はそういうものであった．

k と a が互いに素でないときには，グラフには分岐が生じる．しかし，その分岐の様子には極めて高い対称性が現れる．僕が一番気に入っている M_{100}^{2} をご覧にいれよう． mod 100 の計算は， 3 桁目が出たら無視するだけのことだから簡単で，小学生にも出来ないことではない．ただ，時間は掛かるだろうし，まとめ方にもセンスは要る．が，どれだけ掛かってもいい，自分が気に入った形に何度でも描き直す，そういう姿勢さえあればよい．

有限の頂点上の連結な力学グラフはただ 1 つのサイクルを持つので，各成分はそれに含まれるリミット・サイクルで特徴づけられる．

まず，不動点の 0 を含む成分 R_{0} は

[figure: 0 ← 50; 75; 25]

となる．すべての数は 25 の倍数なので割ってみると， M_{4}^{2} になる．逆に， M_{4}^{2} から見たときは 25 倍化ということになる．また， M_{4}^{2} の 5 倍化は M_{20}^{2} の 0 を含む成分 R_{0}(M_{20}^{2}) であり，そのまた 5 倍化になっている．

次に，周期 4 のサイクル C_{1} = {20 → 40 → 60 → 60 → 20} がある．それを含む成分 R_{1} は

[figure: 20; 40; 80; 60; 10; 55; 05; 30; 65; 15; 70; 85; 35; 90; 95; 45]

となる．頂点の数は 16 個，すべて 5 で割り切れるので割ってみれば， M_{20}^{2} の 0 を含まない方の成分になっている．こうして， M_{100}^{2} のこの 2 つの成分は M_{20}^{2} の 5 倍化になっている．

M_{100}^{2} にはもう 1 つ成分 R_{2} があって，そのサイクル C_{2} の周期は 20 である．これは直接的にはより小さい k に対する乗法グラフからは得られないが， R_{0} や R_{1} と同じような構造になっている． R_{2} の頂点数は 80 で， 4+16+80 = 100 となり，これで M_{100}^{2} のすべての頂点が出てきたことになる．

[figure: 04; 02; 51; 01; 08; 54; 27; 77; 16; 58; 29; 79; 32; 66; 33; 83; 64; 82; 41; 91; 28; 14; 07; 57; 56; 78; 39; 89; 12; 06; 03; 53; C_{2}; 24; 62; 31; 81; 48; 74; 37; 87; 96; 98; 49; 99; 92; 46; 23; 73; 84; 42; 21; 71; 68; 34; 17; 67; 36; 18; 09; 59; 72; 86; 93; 43; 44; 22; 11; 61; 88; 94; 47; 97; 76; 38; 19; 69; 52; 26; 13; 63]

R_{2} の頂点となる数の特徴は 5 で割り切れないことである． 3 つの成分ともに，過去を持たない数は奇数である． R_{0} の過去を持たない数は 25 の倍数で 50 の倍数でないもの， R_{1} の過去を持たない数は 5 の倍数で 10 の倍数でないもの， R_{2} の過去を持たない数は 5 の倍数でない奇数となる．

また，サイクルからの高さが 1 の頂点（矢印を 1 つ進むとサイクルに落ちこむ点）は， 4 の倍数でない偶数である． 100 = 2^{2} × 5^{2} の素因数が， n の素因数分解に重複度を込めてどのように含まれているかが，グラフとしての言葉で述べられる．

一番外回りの 50 個の数を（もちろんそれから出ている矢印も）取り去れば，偶数ばかりからなるので，一斉に 2 で割ると， M_{50}^{2} が得られる．うーん，それが 50 = 2 × 5^{2} という意味なのかと，誰か一人でも思ってくれたら，大成功だ．誰も気づいてくれなくても，またいつか，を期待する．臨床数学教育は忍耐の教育なのだ．

初めてこのグラフを描いた時，この美しさは僕にも驚きであった． 2 を掛けて下 2 桁をとるというこんな簡単な計算から，こんな対称性の高いグラフが得られるである．ここでは L^{A}TEX で描く都合上四角くなっているが，本来は丸く描かれるべきものであって，見ていると，鯉のぼりの竿の先の矢車が回っているような気がしてくる．

力学グラフは描いて綺麗だったね，でもよい．計算は詰まらないけど，グラフにすると綺麗だね，でも一応は成功だ．しかし，さらに色んなことができる．

たとえば， A_{k}^{a} でも M_{k}^{a} でも， h < k に対して mod h 簡約をすることができる．そうすると，力学グラフでない有向グラフになるか，自明なものにしかならないことも多い．しかし， h によっては意味のある力学グラフになることもあって，それらを結んで簡約スキームを作ることができる．簡約スキームの複雑さが元の力学グラフの複雑さを表わしているとも言える．

複雑な力学グラフの方がよいか，簡明なものがよいかは一概には言えない．しかし，複雑さの程度を測ることもできて，それがグラフとしての個性を特徴づけもする．グラフ自身の不変量としては，成分の数，各成分に含まれる頂点の数，サイクルの周期，分岐の数と次数，サイクルからの高さの最大値などがある．個々の数の特性数も定義できて，サイクルの元かどうか，寿命（f^{m}(I_{k}) に含まれなくなる最小の m），次数（他のいくつの数から矢印がくるか）などがある．

学習者の学習態度や興味の持ち方に合わせて，これらの特性数に擬人的な価値観を与えて，たとえば，グラフを見ながら物語を作っていくこともできる．たとえば， [4] では「門」という概念を定義した．どんな数も，矢印を進んで行けばリミット・サイクルに落ち込むが，ある成分ではその成分の 3 分の 2 ほどの数が，サイクルに行く途中，ある点（数）を必ず通ることがある．その点を門と呼んだ．物語には恰好の材料である．

また，既知の力学グラフから新しい力学グラフを作る操作もある．力学グラフの積，ラベル変形（特殊なものとして，ずらし変形，補数変形），埋め込み（倍化変形，倍速変形）などがある．そういう変形で，同じ種類の力学グラフ（またはその部分グラフ）になることもならないこともあるが，なる時には相互の関係を論じることができる．

かなり豊かな数学的おもちゃ箱である．しかし，このまま初等教育に使おうとすると，お気づきだろうが，ネックがある．初等教育で使おうとすれば，ある程度は小さい範囲に限定しなければいけないし，限定しようとすれば， mod k の計算が出来なければならない． k = 10, 100, 1000 なら下 1, 2, 3 桁の計算で，桁溢れは無視することだから，熟練していない学習者にも違和感はないだろうが，他の場合は中々慣れるものではない．と言って，それをやらなければ面白くない．いろいろな k に対応するグラフの関係を考えるから中身が膨らむということでもある．初等教育でも mod k の計算に抵抗感が少ないのは時計の計算である．普通のアナログの時計は 12 時間制なので， k = 12 の場合になるが，世界同時表示の時計は 24 時間制だし，歴史的にも k が 12 でない時間の数え方がある．一日が 13 時間の惑星があったとしようと言うこともでき，一旦時計モデルで納得すれば k ≠ 12 の場合も納得し易くなるだろう．そこで，導入には時計を利用することを考えてみた．そうした導入例を次の節で示す．

力学グラフは，定義によって，平面グラフとして表わされる．つまり，平面上に頂点を適当に配置し，適当に矢印を引くことによって，矢印が交差しないように描くことができる．多くの場合，その方が見やすいのでそうするのだが，学習者に慣れてもらうためにあえて，交差する図から入ることにしてみた．

§4. 力学グラフの時計モデル：導入例として

時計の読み方を知っている小学生から，中学生くらいまでを対象とする．高校生では易しいと思って，真面目に考えてくれない恐れがある．数回中学 1 年と 2 年生に対して授業をしてみた．その反応も混じえて述べる．

まず，点のみの図を見せるのだが，その前に一度ちらっと左のような円も書き込んだものを見せると，何も言わなくても「時計だ」という．こちらからは時計という言葉は言いたくない．この右側の図が 1 つだけ描いてある小さい紙を 12 枚，配布しておく．

次にこの点に名前を付けて行く．話の進行の中で，数回線引きをしたくらいの所で， 12 というラベルを 0 に変えておくと，時計の上の線図から力学グラフへの移行の際に躓きが少ない．

「さて，君は見張りだ．１時間おきに巡回のチェックを書き込まないといけない．その際，前のチェック時刻から線を引いておくことになっている．すると，どうなるか．やってごらん．」飲み込みの良い子はすぐに描き始めるが，どうしていいか分からない子もいて，どうするの？と訊いてくる．「１時間後の所と線で結ぶだけだよ」位で，それ以上は敢えて教えず，「やってごらん」とだけ言う．これくらいは中学生なら，やる．まだ 11 枚の紙がある以上，こんな詰まらないことでは終わらないだろうという期待感があるからだろうか．下の右の図のようになる．

0 12  1  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

次に「2 時間おきの見張りならどうなるの，かいてごらん」とすれば，色々あっても下の左の図の実線は引いてくる．「あれ，点が余っているね．線で結んで貰ってないと寂しいだろう．で，そのときね，前のと別の色で線を引くことにしようね」ともかく，下の左の図ができる． 6 角形が 2 つでき， 30^{∘} 回すとその 2 つが重なることを注意しておく．

色のついた絵は中々綺麗で，少し面白がるようになる（子もいる）．「じゃあ， 3 時間おきならどうかな」もう見張りなんてことは必要なくなっている． 2 のときと同じように，実線しか描かない子もまだまだ多いが，ゆったりと進めよう．下の右の図ができる．今度は 3 色である．配布したのと同じものを大きな紙に描いて，黒板に貼り，できた子に描かせてもよい．

今度は 3 つの 4 角形が出来る． 30^{∘} 回すと，隣の 4 角形に移り変わって行くことを確認する．ここら辺りで，予想を立てさせる．「次は 4 時間おきだけど，どうなるかな」あちらこちらから，色々な答が帰って来た．「何が起こるか，まあ，描いてごらん．それから， 5 時間， 6 時間，とずっとやるんだよ，紙は十分あるだろう」また一騒ぎして，描き始める． 4 の時は予想通りで（左下の図になり），満足げに 5 の場合を描き始めると，途端に「先生，できんよ！」という叫びが起こる．「できんことはないだろう． 5 時間おきに見張りに行くだけだよ」とできるだけ平然と答える．下の右の図が出来る．

自己交叉はしているが，正 12 角形と呼んでもよいほどの図形である．辺の長さも各点での角も等しい．これも 30^{∘} 回せば，自分自身に重なる． 6 の場合は下の左の図になる． 7 以降は図形としては同じものが出てくるが，それも描かせる．

実は念を押さなかったため，すべての作業を 1 枚の紙でしてしまった子もいた．すると，下の右のような図になる．色をうまく選んで，正多角形が浮き出るようにすると面白いし美しい．

どこかの段階で，「線が交わっているのは見難いから，交わらないように別々に描いてみよう．場所で数が分からないから，点の代わりに数を書くことにして，順番が分からないから線に向きを付けてみよう」とやってみれば， a 時間後を結ぶ図は加法グラフ A_{12}^{a} に変身する．

それぞれの図での対称性の話や，成分の数と周期の関係， a による変化と a = 6 を中心とする対称性．話題はいろいろとあるが，それをすべて，出来たらいいし出来なくてもいいという覚悟でやってみた．これで mod 12 の演算に慣れたら， 24 も違和感がないだろうし，ある星では 1 日は k 時間だった，と宣言すれば，一般の k でも段々に慣れていってくれるのではないだろうか．

§5. おわりに

かなり急ぎ足で，臨床数学教育の理念と教材例としての力学グラフを述べてきたが，与えられた紙数を大幅に超過して尚，意とするところが通じたかどうかわからない．臨床数学教育的態度と同じように，焦らず慌てずゆったりと普及していくしかないのだが，現今の教育の置かれている状況が，胸の奥を急き立てる．

普及のためには，最低でも 2 種類の本を書かねばならないようだ．本稿でも使った程度の数学的概念と用語を使ったものと，関数概念を極力抑えたものと．さらに，直接児童・生徒に働きかけることのできる教材書や自修書のようなもの，概念の本質だけを取り出した例えば絵本仕立てのようなものも必要である．数年前からそういうことを考えていて，その実現が急務だと焦れば焦るほど，何から手をつけていいか分からず，手をつけても他の形態のものが気にかかり中途半端な状態でいた．

本稿の執筆を機会に，本当に手を付けて行きたいと思っている．一緒にやってもいいと思われるボランティアの方がおられるようなら，協力の可能な形態を探ってみたいと思っている．普及のために必要とあればどこへでも出掛けるつもりでいる．口約束はこの辺にしておこう．

文献の最後に追加した 2 篇の考察は，まだ臨床数学教育を意識する前に，図形を対象として行ったものであるが，振り返ってみれば前駆と呼べなくもない．臨床数学教育的立場から，見直してみたいと思っている．

参考文献

[1] 蟹江幸博『臨床数学教育を目指して』三重大学教育学部紀要、第 52 巻、教育科学 (2001), 101-105.

[2] —— 『数の構造ゲーム I — 数学嫌いの癒しに向けて —』三重大学教育学部紀要、第 52 巻、教育科学 (2001), 107-118.

[3] —— 『力学グラフと戦略ゲーム — 臨床数学教育における教材の役割』三重大学教育学部紀要、第 53 巻、教育科学 (2002), 73-83.

[4] Yuhihiro Kanie, Games of Number Structures II (Reversed Difference), 三重大学教育学部紀要、第 53 巻、自然科学 (2002), p.7-26.

[5] —— 『力学グラフ：グラフ的算数入門のための数学的理論』 (A Mathematical Theory of Graphical Illustration to Arithmetics), in prep.

[6] —— 『幾何的直観と対称性』プレプリント

[7] 蟹江幸博『三角定規の組み合わせ図形の考察』三重大学教育学部紀要、第 46 巻、教育科学 (1995),41-49.